112.247.67.26：以“在概率论和数理统计中，方差（英文Variance）用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。在许多实际问题...”为内容创建页面

2014-02-05T14:48:25Z

以“在概率论和数理统计中，方差（英文Variance）用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。在许多实际问题...”为内容创建页面

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在概率论和数理统计中，[[方差]]（英文Variance）用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。在许多实际问题中，研究随机变量和均值之间的偏离程度有着很重要的意义。如下面的例子：

已知某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图：

{{百科小图片|bkhuc.jpg|}}甲仪器测量结果：

{{百科小图片|bkhud.jpg|}}乙仪器测量结果：

两台仪器的测量结果的均值都是 a 。但是用上述结果评价一下两台仪器的优劣，很明显，我们会认为乙仪器的性能更好，因为乙仪器的测量结果集中在均值附近。

由此可见,研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的.那么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢?容易看到E(｜X-E(X)｜)能度量随机变量与其均值E(X)的偏离程度. 但由于上式带有绝对值,运算不方便,通常用量

E｛[X-E(X)]^2｝这一数字特征就是方差。　　
==方差的定义==
设X是一个随机变量，若E｛[X-E(X)]^2｝存在，则称E｛[X-E(X)]^2｝为X的方差，记为D(X)或DX。

即D(X)=E｛[X-E(X)]^2｝，而σ(X)=D(X)^0.5（与X有相同的量纲）称为<b>[[标准差]]</b>或<b>均方差</b>。即用来衡量一组数据的[[离散程度]]的统计量。

方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度。

若X的取值比较集中，则方差D(X)较小；

若X的取值比较分散，则方差D(X)较大。

因此，D（X）是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡量X取值分散程度的一个尺度。　　
==方差的计算==
由定义知，方差是随机变量 X 的函数

g(X)=[X-E(X)]^2

的数学期望。即：

{{百科小图片|bkhue.jpg|}}由方差的定义可以得到以下常用计算公式：

<b>　D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2</b>

证明：

D(X)=E[X-E(X)]^2

=E｛X^2-2XE(X)+[E(X)]^2｝

=E(X^2)-2[E(X)]^2+[E(X)]^2

=E(X^2)-[E(X)]^2

方差其实就是标准差的平方。　　
==方差的几个重要性质==
（1）设c是常数，则D(c)=0。

（2）设X是随机变量，c是常数，则有D(cX)=(c^2)D(X)。

（3）设 X 与 Y 是两个随机变量，则

D(X+Y)= D(X)+D(Y)+2E｛[X-E(X)][Y-E(Y)]｝

特别的，当X，Y是两个相互独立的随机变量，上式中右边第三项为0（常见协方差），

则D(X+Y)=D(X)+D(Y)。此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量之和的情况.

（4）D(X)=0的充分必要条件是X以概率为1取常数值c，即P｛X=c｝=1，其中E(X)=c。　　
==常见随机变量的期望和方差==
设随机变量X。

X服从(0—1)分布，则E(X)=p D(X)=p(1-p)

X服从泊松分布，即X~ π(λ),则 E(X)= λ，D(X)= λ

X服从均匀分布，即X~U(a，<b>b),</b>则E(X)=(a+b)/2, D(X)=(b-a)^2/12

X服从指数分布，即X~e(θ), E(X)= θ，D(X)= θ^2

X服从[[二项分布]]，即X~B(n,p)，则E(x)=np, D(X)=np(1-p)

X 服从[[正态分布]]，即X~N(&micro;,σ2), 则E(x)=&micro;, D(X)=σ^2

若Xi~ N(&micro;i,σi^2),i=1,2,…n, 且它们相互独立，则它们的线性组合C1X1+C2X2+…+CnXn(Ci是不全为0的常数)仍然服""从正态分布,且C1X1+C2X2+…+CnXn~N (∑Ci&micro;i, ∑Ci^2σi^2)　　
==[[统计学]]的应用==

===概念===
样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差；样本方差的算术平方根叫做样本标准差。{{百科小图片|bkhuf.jpg|}}样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大。

方差和标准差。方差和标准差是测算离散趋势最重要、最常用的指标。方差是各变量值与其均值[[离差]]平方的平均数，它是测算数值型数据离散程度的最重要的方法。标准差为方差的平方根，用S表示。标准差相应的计算公式为

标准差与方差不同的是，标准差和变量的计算单位相同，比方差清楚，因此很多时候我们分析的时候更多的使用的是标准差。　　
===高考实例===
（甘肃省，2002年）某校初三年级甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，两个班参加比赛的学生每分钟输入汉字的个数，经统计和计算后结果如下表所示：

<table><tr><td align="" width="66">班级</td><td align="" width="66">参加人数</td><td align="" width="66">平均字数</td><td align="" width="66">[[中位数]]</td><td align="" width="66">方差</td></tr><tr><td align="" width="66">甲</td><td align="" width="66">55</td><td align="" width="66">135</td><td align="" width="66">149</td><td align="" width="66">191</td></tr><tr><td align="" width="66">乙</td><td align="" width="66">55</td><td align="" width="66">135</td><td align="" width="66">151</td><td align="" width="66">110</td></tr></table>　有一位同学根据上表得出如下结论：

①甲、乙两班学生的平均水平相同；

②乙班优秀的人数比甲班优秀的人数多（每分钟输入汉字达150个以上为优秀）；

③甲班学生比赛成绩的波动比乙班学生比赛成绩的波动大．上述结论正确的是________（填序号）．

<b>解：</b>填①、②、③，显然①、③是正确的是．对于第②个结论，因为甲的中位数为149，表明甲班优秀人数未过半，而乙的中位数为151，表明乙班优秀人数在半数以上，故乙班优秀的人数比甲班优秀人数多，∴ ②正确．　　
==切比雪夫不等式==

===定理===
设随机变量X就有数学期望E(X)=&micro;，方差D(X)=σ^2 ，则对于任意整数ε，有不等式

<table><tr><td>{{百科小图片|bkhug.jpg|}}</td><td>或</td><td>{{百科小图片|bkhug.jpg|}}</td></tr></table>　成立。

由切比雪夫不等式可以看出，若 ε 越小，则事件｛｜X-E(X)｜< ε ｝的概率越大，即随机变量X 集中在期望附近的可能性越大.

就只连续性随机变量的情况来证明。

设X的概念密度为 f(x).

<table><tr><td>{{百科小图片|bkhui.jpg|}}</td></tr></table>　当方差已知时，切比雪夫不等式给出了r.v X与它的期望的偏差不小于3σ 的概率的估计式 .

如取ε =3σ

{{百科小图片|bkhuj.jpg|}}可见，对任给的分布，只要期望和方差D(X)，则 r.v X取值偏离E(X)超过3σ 的概率小于0.111 .　　
===应用实例===
例9 已知正常男性成人[[血液]]中，每一毫升[[白细胞]]数平均是7300，均方差是700 . 利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率 .

解：设每毫升白细胞数为X

依题意，E(X)=7300,D(X)=7002

所求为 P(5200 ≤ X≤ 9400)

P(5200≤ X ≤ 9400)

= P(-2100 ≤X-E(X) ≤ 2100)

= P｛｜X-E(X)｜ ≤ 2100｝

由切比雪夫不等式，

{{百科小图片|bkhuk.jpg|}}即估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率不小于8/9 .

方差 - 版本历史

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